Kotak Ajaib

Pada hari Selasa lalu (29/03/05), Koran Tempo pada edisi cetaknya menulis sebuah artikel berjudul Kotak Ajaib. Artikel yang dimuat di kolom Ilmu & Teknologi ini menceritakan tentang seorang peminat matematika asal Blora, Sutrisno, yang berhasil membuat rumus untuk membangun sebuah kotak ajaib. Dari rumus inilah beliau kemudian berhasil menyusun kotak ajaib dengan ukuran 31×31.

Yang disebut-sebut sebagai kotak ajaib di sini adalah sebuah array bujursangkar yang mengandung bilangan integer positif 1, 2, 3, …, n², yang diletakkan sedemikian rupa sehingga jumlah bilangan pada setiap baris, setiap kolom, dan setiap diagonalnya adalah sama.

Yang menarik perhatian saya pada artikel tersebut adalah istilah latin square yang digunakan untuk menamai kotak ini. Salah satu alinea saya kutip di sini:

… Datanglah Sutrisno ke kampus Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam UI di Depok. Dari salah seorang dosen matematika, Sutrisno tahu kalau kotak ajaibnya itu dalam istilah matematika disebut Latin square.

Di dalam istilah matematika, latin square dan magic square adalah berbeda dan dibedakan. Magic square (alih-alih diterjemahkan sebagai kotak ajaib, saya lebih suka menyebutnya dengan bujursangkar ajaib, karena istilah “kotak ajaib” memiliki kerancuan dengan istilah “magic cube” yang memiliki bentuk dan aturan tersendiri) melibatkan angka-angka 1, 2, 3, …, n². Sementara latin square melibatkan angka-angka 1, 2, 3, …, n.

Secara spesifik, Latin Square mengandung n himpunan yang beranggotakan bilangan integer 1 sampai dengan n yang diatur sedemikian sehingga tidak ada alur ortogonal (baris maupun kolom, bahkan diagonalnya) mengandung angka yang sama.

Di artikel itu pun, Sutrisno mengungkapkan rumus yang dia susun untuk membangun sebuah bujursangkar ajaib. Bujursangkar ajaib yang berukuran ganjil tentu saja berbeda rumusnya dengan bujursangkar ajaib berukuran genap. Saya mencoba mengikuti rumus yang beliau berikan untuk bujursangkar ukuran 9×9, dan ternyata rumus tersebut tidak valid di langkah ke-4. Pada langkah tersebut disebutkan:

Untuk mengisi kotak-kotak paling luar dari kotak ajaib merupakan pasangan angka yang berjumlah nilai total dikurangi nilai tengah yang dibagi tiga.

Langkah di atas ternyata hanya berlaku untuk bujursangkar ajaib yang berukuran 7×7, dan tidak berlaku untuk ukuran lain. Setelah sedikit saya pelajari, seharusnya langkah ke-4 adalah:

Kotak-kotak paling luar dari kotak ajaib merupakan pasangan angka yang berjumlah dua kali nilai tengah.

Selanjutnya pada langkah ke-5, saya menemukan bahwa langkah tersebut berlaku terbatas hanya sampai bujursangkar yang berukuran 9×9 saja. Untuk ukuran yang lebih besar, diperlukan urutan angka penambah dan angka pengurang yang lebih lengkap. Dan saya yakin Sutrisno punya angka-angka ini, terbukti beliau mampu menyusun bujursangkar ajaib sampai ukuran 31×31.

Terlepas dari metode dan rumus yang digunakan oleh Sutrisno dalam menyusun bujursangkar ajaib, sebenarnya sudah ada metode yang jauh lebih mudah, yang sudah dikenal lama. Untuk membangun bujursangkar ajaib berukuran ganjil, metode yang diberikan Kraitchik—dikenal dengan metode Siam—bisa digunakan. Metode “lozenge” yang diperkenalkan oleh J. H. Conway dapat pula digunakan untuk membangun bujursangkar ajaib berukuran genap ganjil.

Dengan metode Siam, saya berhasil membangun bujursangkar ajaib berukuran 101×101 dalam waktu hanya 15 menit.

Tetapi tentu saja, meskipun sudah ada metode untuk membuat bujursangkar ajaib, metode yang ditawarkan oleh Sutrisno patut dihargai. Karena seperti yang dikatakan Pak Wono, dosen matematika ITB, justru yang menarik dalam matematika adalah penggunaan metode yang lain dari yang lain.